0! = 1 olarak tanımlanır.
n! sayısı n faktoriyel" olarak okunur.
Daha matematiksel olarak n! sayısı tümevarımla şöyle tanımlanır:

0! = 1
ve her n \geq 0 için
(n+1)! = (n+1) \times n!

0! Faktöriyelinin Tanımı

0! sayısının, ilk sıfır pozitif sayının çarpımı olarak tanımlanması (n! ifadesinin tanımına bakınız) okuyucunun bu sayının neden 1'e eşit olarak tanımlandığını sorgulamasına yol açabilir.

Bunun cevabı basittir: İşimize Geldiğinden...

0! sayısını 1 olarak tanımlamak, matematiksel işlemlerimizi kolaylaştırdığı için bu tanımı yaptık.

0! sayısını 1 olarak tanımlamasaydık ya da hiç tanımlamasaydık:

Teoremleri ve formülleri yazmakta zorlanacaktık.
Karşımıza hep özel durumlar çıkacaktı.
Formüllerimiz ve önermelerimiz gereksiz yere uzayacaktı.

Ayrıca, 0! sayısının 1 olarak tanımlanması uygulanan kurallar ile uyum içindedir. Nitekim, sayma konusuna biraz eğilen herkes, 0! sayısının illaki tanımlanması gerekiyorsa, 1 olarak tanımlanmasının en sağlıklı çözüm olduğunu hemen anlar.

0! = 1 eşitliğini kanıtladığını iddia eden her kanıtta mutlaka ince bir hata vardır. Örneğin, şu "kanıta" bakalım:

\text{(1)} \quad \frac{n!}{n(n-1)\cdots(k+1)} = k!
eşitliğinde k = 0 alırsak,
\frac{n!}{n(n-1)\cdots(0+1)} = 0!

... buluruz, ama sol taraf n! = n! olduğundan 1'e eşittir. Demek ki 0! = 1 olur...

Bu "kanıt" yanlıştır. Çünkü (1) \quad \frac{n!}{n(n-1)\cdots(k+1)} = k! eşitliğinin k=0 iken geçerli olduğu kanıtlanmamıştır ve bu eşitlik, 0! = 1 tanımı bilinmeden de kanıtlanamaz.

Sonuç olarak, 0! = 1 eşitliği bir anlaşmanın ya da tanımın sonucudur, kanıtlanamaz. Daha genel olarak, matematikte şu anlaşmalar yapılır:

"Hiç tane sayının birbiriyle toplamı 0'dır" (toplamanın etkisiz elemanı).
"Hiç tane sayının birbiriyle çarpımı 1'dir" (çarpmanın etkisiz elemanı).

Bu anlaşma kabul edilecek olursa, 0! elbette 1'e eşit olmalıdır.

0⁰ İfadesi: Bağlama Göre Tanım

Benzer bir anlaşma, çok daha şaşırtıcı bir biçimde 0⁰ için de geçerlidir.

Cebir, aritmetik ve kombinasyon hesaplarında genellikle 0⁰ = 1 eşitliği kabul edilir, çünkü bu şekilde olması işimize gelir.
Ancak analizde bu eşitliği kabul etmek ya da 0⁰'ı başka bir sayı olarak kabul etmek hiç işimize gelmez. Dolayısıyla, analizde 0⁰ ifadesi tanımsız olarak bırakılır.

"Tanımsız" demek, "tanımlanamaz" demek değildir; "tanımlanmamış" demektir. Örneğin, eğer isteseydik 0/0 ifadesini 5 olarak tanımlayabilirdik. Ama bunu istemiyoruz, çünkü 0/0'ı herhangi bir sayı olarak tanımlamak hiçbir işe yaramaz, tam tersine her şeyi zorlaştırır.

0! Faktöriyelinin Tanımı

00 İfadesi: Bağlama Göre Tanım

0⁰ İfadesi: Bağlama Göre Tanım