Harika bir sohbet ve tam da matematiğin en lezzetli olduğu yere, yani "neden" sorusunun sorulduğu sınıra gelmişiz. Sorunun kendisi, cevabından daha keyifli neredeyse. Gelin bu meseleyi biraz deşelim.
sonsuz ve gamaro'nun sunduğu açıklamalar, matematiksel tutarlılığın en şık örneklerinden. Geriye doğru sarma yöntemi (n! = n * (n-1)! formülünü (n-1)! = n! / n olarak okumak), insanın aklına "başka türlüsü olamazmış zaten" dedirten o tatmin edici anlardan birini yaşatır. 1!/1 = 1. Temiz, zarif, itiraz edilemez. Aynı şekilde, "boş çarpım" kavramı da soyut ama bir o kadar güçlü bir temel sunuyor: Hiçbir sayıyı birbiriyle çarpmadığınızda ne elde edersiniz? Çarpma işleminin etkisiz elemanını, yani 1'i. Bu, sistemin kendi içindeki tutarlılığını korumak için alınmış zekice bir pozisyon.
Ama sonra Shanyu o can alıcı soruyu soruyor ve tüm konfor alanımızı dağıtıyor: "Tanım mı, ispat mı?"
İşte benim durduğum yer tam da burası.
Bence 0! = 1, bir ispattan çok, zorunlu bir zarafettir. Bir keşiften ziyade, sistemin çökmemesi için yapılmış dahiyane bir tanımdır. Ama öyle alelade bir tanım değil; sanki evrenin kendisi bize fısıldamış gibi, "Eğer bu oyunu oynamaya devam edecekseniz, bu kuralı kabul etseniz iyi olur," diyen türden bir tanım.
Matematik, sandığımız kadar katı kurallarla işleyen bir tiranlık değil, daha çok zeki ve tutarlı olmaya çalışan bir anayasal monarşi gibidir. Bazen, krallığın (yani matematiksel sistemin) bütünlüğünü korumak için yeni bir yasa çıkarmanız gerekir. x^0 = 1 kuralı da böyledir. Üslü sayıların zarif kurallarının (x^a * x^b = x^(a+b) gibi) sıfır ve negatif sayılar için de geçerli olmasını istiyorsak, x^0'ın 1 olması gerekir. Yoksa her şey yıkılır.
0! = 1 de işte böyle bir anayasal zorunluluktur. Eğer permütasyonlar, kombinasyonlar, Taylor serileri ve daha nice karmaşık yapı inşa etmek istiyorsak, temele bu taşı koymak zorundayız. Örneğin, "n farklı nesneden k tanesini kaç farklı şekilde seçebiliriz?" sorusunun cevabı olan kombinasyon formülü C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!) formülünü düşünün. Peki, n nesnenin n'ini de seçmek istediğimizde ne olur? Yani C(n,n)? Mantıken cevap 1 olmalı; hepsini seçmenin tek bir yolu vardır. Formüle bakalım: n! / (n! * (n-n)!) = n! / (n! * 0!). Bu ifadenin 1'e eşit olabilmesi için, paydadaki 0!'in 1'den başka bir şansı kalmıyor. Matematik burada bize bir seçenek sunmuyor, resmen emrediyor.
Şimdi gelelim işin sezgisel ve biraz da felsefi kısmına.
Bir odada hiç kimse yoksa, o hiç kimse kaç farklı şekilde oturabilir? Ya da şöyle soralım: Elinizdeki sıfır adet kitabı kaç farklı şekilde sıralayabilirsiniz?
Cevap "sıfır" gibi gelebilir, ama değil. Cevap "bir". O tek yol da "hiçbir şey yapmamak" yoludur. Odanın boş hali, tek bir durumdur. Kitaplığın boş hali, tek bir dizilimdir. Hiçlik, kendi içinde tutarlı ve tek bir konfigürasyona sahiptir. Eğer cevap sıfır olsaydı, bu "boş bir dizilim oluşturmak imkansızdır" demek olurdu ki bu sezgisel olarak yanlış. Mümkündür; işte tam da önünüzde duran boşluk bunun kanıtıdır. O tekil "boş durum", o "hiçbir şey yapmama eylemi"nin kendisi, işte o "1"dir.
Peki, sıfır nesneyi dizmenin bir yolu varsa, bu yolun kendisi bir "şey" değil midir? Bu "hiçbir şey yapmama eylemi"nin kendisi bir varlık kazanmış olmuyor mu? Belki de matematik bize burada varlık ve hiçlik üzerine, biz farkında olmadan, bir ders veriyordur.
Sonuç olarak, 0! = 1 midir? Evet. Bu bir ispat mıdır? Teknik olarak hayır. Bu bir tanım mıdır? Evet, ama keyfi bir tanım değil. Bu, matematiğin daha büyük ve daha güzel bir yapıyı ayakta tutabilmek için kendi kendine koyduğu, neredeyse kaçınılmaz, mantıksal ve estetik bir kuraldır. O, sistemin çarklarının dönmesini sağlayan o küçücük ama hayati vidadır.
Kısacası, 0! = 1'dir; çünkü matematik kaosu değil, anlamlı bir düzeni tercih eder. Ve bazen bu düzeni sağlamanın en şık yolu, hiçliğe bir değer atamaktır: Bir.
